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Problema de Producción y Transporte resuelto con Solver

El siguiente problema de producción y transporte fue enviado por uno de nuestros usuarios de Colombia de la ciudad de Santa Cruz de Lorica: “Una compañía que fabrica Cereal de Maíz tiene dos campos de siembra, el Campo I y el Campo II, y dos molinos, A y B. Las capacidades de suministro mensual de maíz de los Campos I y II son 125 y 245 toneladas, respectivamente. El molino A requiere por lo menos 190 toneladas de Maíz al mes y el B por lo menos 158 toneladas mensuales. Los costos de transporte en unidades monetarias por tonelada de cada Campo a cada molino son los siguientes: 2 del Campo I al molino A, 3 desde el Campo I al molino B, 4 desde el Campo II al molino A, y 5 desde el Campo II al molino B”.

¿Qué cantidad de Maíz debe transportarse desde cada Campo I y II a cada molino A y B de forma que se logre minimizar el costo total de transporte? ¿Cuál es ese costo mínimo? ¿Hay algún envío que no debe realizarse para conseguir dicho costo mínimo?.

Para una mejor comprensión del problema anterior representaremos gráficamente la información anterior donde se puede apreciar los distintos oferentes (Campos) y demandantes (Molinos), además de la capacidad de producción y demanda (en toneladas mensuales) junto a los costos de transporte para cada combinación origen destino.

Problema de Producción y Transporte

1. Variables de Decisión: (con i=I,II y j=A,B)

2. Función Objetivo: Minimizar los costos que se asumen mensualmente por el transporte de cereal desde los campos a los molinos.

3. Restricciones:

Capacidad de Producción de los Campos: La cantidad de toneladas que se transporte desde cada campo a cada uno de los molinos no puede superar su capacidad de producción.

Demanda de los Molinos: Cada molino debe recibir un mínimo de toneladas mensuales de cereal desde los campos.

No Negatividad: Las variables de decisión deben adoptar valores reales no negativos.

A continuación se detalla la implementación computacional del modelo de optimización haciendo uso de Solver de Excel:

Notar que la celda F9 es una fórmula asociada a la función objetivo que pondera los costos unitarios de transporte por las toneladas transportas en cada combinación de origen (campos) destino (molinos). La celda E3 es la suma de C3 y D3 (análogamente E4=C4+D4) representando las restricciones de capacidad. De similar forma la celda C5 es una fórmula que considera la suma de las celdas C3 y C4 (por supuesto D5=D3+D4). Una vez generada la estructura del modelo de Programación Lineal se carga éste en la interfaz de Solver:

La solución óptima (celdas color amarillo) consiste en transportar 125 toneladas del Campo I al Molino B y el Campo II envía 190 y 33 toneladas a los Molinos A y B, respectivamente. El valor óptimo es de 1.300 unidades monetarias.

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[sociallocker]Problema de Producción y Transporte[/sociallocker]

Qué es una Solución Básica Factible en Programación Lineal

En Programación Lineal una Solución Básica Factible (SBF) es aquella que además de pertenecer a la región o área factible del problema se puede representar a través de una solución factible en la aplicación del Método Simplex satisfaciendo las condiciones de no negatividad.

En este contexto una solución básica factible corresponderá a uno de los vértices del dominio de factibilidad cuya coordenada o solución se puede representar a través de un conjunto de restricciones activas para el modelo.

Para desarrollar el concepto anterior consideremos el siguiente problema de optimización matemática (lineal):

La resolución gráfica del problema anterior haciendo uso de Geogebra se presenta en el siguiente gráfico:

El área achurada corresponde al dominio de factibilidad del problema, identificándose en particular 5 vértices que hemos llamado arbitrariamente A, B, C, D y E.

La solución óptima del modelo lineal se alcanza en el vértice C donde X=100 e Y=350 con valor óptimo V(P)=3.100. Notar que dicha solución se puede obtener a través de la resolución de un sistema de ecuaciones con las restricciones 1 y 3 (R1 y R3) en igualdad.

En consecuencia, el vértice C además de ser una solución básica factible es una solución básica factible óptima.

En cuanto a los vértices A, B, D y E son soluciones básicas factibles (no óptimas) debido a que en la aplicación del Método Simplex al menos una variable no básica tendrá costo reducido negativo (lo que permitirá mejorar el actual valor de la función objetivo).

La tabla a continuación es la que se obtiene al llevar al problema a su forma estándar, agregando S1, S2 y S3 como variables de holgura de las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente (R1, R2 y R3).

Ambas variables no básicas (iniciales) X e Y tienen costo reducido negativo (-3 y -8) por tanto X=0 e Y=0 que si bien es una solución básica factible (vértice A) no es solución óptima.

Para continuar la demostración realizaremos una iteración del Método Simplex incorporando la variable Y a la base (criterio costo reducido “más negativo“) y donde el mínimo cuociente Min {1.600/4; 1.700/2; 350/1}=350 ==> S3 deja la base:

La solución básica factible ahora es X=0 e Y=350 (vértice B), sin embargo, el costo reducido de la variable X sigue siendo negativo y por tanto aún no nos encontramos en el óptimo. En consecuencia X entra a la base y obtenemos el mínimo cuociente: Min {200/2; 1.000/6}=100 ==> S1 deja la base:

Finalmente se alcanza la solución óptima (solución básica factible óptima) con X=100 e Y=350 (vértice C) donde todas las variables no básicas (S1 y S3) tienen costos reducido mayor o igual a cero, cumpliendo con el criterio de optimalidad.

¿Qué sucede con los vértices D y E? También son soluciones básicas factibles (no óptimas) que se podrían encontrar por ejemplo incorporando en primera instancia (tabla inicial) a la variable X a la base. De esta forma se debería alcanzar el vértice E luego de una iteración y el vértice D en una segunda iteración.

Notar que también existen otras soluciones factibles (no básicas) como, por ejemplo, X=100 e Y=100 que pertenecen al dominio de soluciones factibles pero no se puede representar a través de la resolución de un sistema de ecuaciones.

Como resolver un modelo de Programación Lineal con OpenSolver

OpenSolver es una excelente complemento de Excel que permite resolver modelos de optimización. En el siguiente artículo se describe cómo resolver un modelo de Programación Lineal con esta herramienta (previa descarga e instalación de OpenSolver en Excel 2010). Para fines académicos consideraremos un modelo lineal con 2 variables de decisión, no obstante se puede extender su aplicación a problemas de mayor tamaño sin inconvenientes.

A continuación necesitamos preparar una planilla Excel que considere los parámetros y variables del modelo (este paso es similar a la carga de un modelo en Solver de Frontline). Se puede apreciar que las celdas B2 y C2 (color amarillo) han sido asignadas a las variables de decisión y la función objetivo (celda azul) corresponde a la celda E2 que es una fórmula que vincula las variables de decisión y los respectivos parámetros que ponderan a éstas. Finalmente las celdas D5 y D6 son fórmulas que representan el “lado izquierdo” de las restricciones del problema (por ejemplo la celda D5 corresponde a B2*B5+C2*C5 o equivalentemente SUMAPRODUCTO(B2:C2;B5:C5)).

Una vez completado el paso anterior se debe ejecutar OpenSolver cuyo menú esta disponible en la pestaña de “Datos” de Excel. Luego se selecciona “Model…” según se muestra a continuación:

La interfaz para implementar el modelo es bastante similar a la versión tradicional de Solver (Frontline). Se define la celda objetivo (E2) en maximización; a continuación se selecciona el rango de variables de decisión (según se muestra en la siguiente imagen) y las restricciones. Si intentas replicar la estructura del ejemplo que desarrollamos en este artículo se debería ver así:

Luego seleccionamos “Save Model” (cambiará la estructura de la planilla la cual adoptará colores lo cual es una de las características de OpenSolver que hacen de este complemento una herramienta intuitiva para el usuario).

Finalmente seleccionamos “Solve”:

El programa se ejecutará y proporcionará (de existir) la solución óptima (X=0 e Y=60) y valor óptimo (V(P)=1.200) del problema de optimización:

Los resultados alcanzados son coincidentes con los alcanzados en la resolución gráfica del problema que hemos abordado en el artículo “Qué significa un Precio Sombra igual a Cero en Programación Lineal“ según muestra la imagen a continuación:

A continuación puedes descargar el archivo con la resolución en OpenSolver de este problema de modo de que puedas familiarizarte con este complemento de Excel: Modelo de Programación Lineal resuelto con OpenSolver

Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal utilizando la Tabla Final del Método Simplex

Un supuesto básico asociado a la Programación Lineal es que los parámetros o constantes son valores conocidos con exactitud al momento de resolver el modelo de optimización. Este supuesto de asumir que no existe incertidumbre claramente implica una simplificación en el modelamiento de problemas de naturaleza real y es conocido como el supuesto de modelo determinista.

La optimización también permite incorporar explícitamente la incertidumbre en los parámetros en el modelamiento, asumiendo que la totalidad o un conjunto de éstos se distribuyen aleatoriamente, lo cual se puede representar a través de una función de probabilidad conocida o una distribución empírica que modela distintos escenarios para los parámetros, asociando una probabilidad de ocurrencia en cada caso. Esta categoría de modelos de optimización (por cierto más complejos en comparación al caso determinista) se llaman modelos estocásticos, los cuales en rara oportunidad se analizan en cursos introductorios de Investigación de Operaciones, de modo que forman parte del programa de estudios en cursos de Magíster y Doctorado asociado al área de optimización matemática.

En relación a lo anterior, si bien un modelo determinista considera valores fijos para los parámetros, aún podemos analizar los cambios en los resultados del modelo (solución óptima y valor óptimo principalmente) en comparación a lo obtenido en una instancia de resolución original o escenario base. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o análisis postoptimal.

Recordemos que la estructura de la tabla final del Método Simplex se puede representar de la siguiente forma:

Donde:

I: Matriz Identidad (Diagonal de “1”)
0: Vector de costos reducidos asociados a las variables básicas
B: Matriz de variables básicas
D: Matriz de variables no básicas
b: Vector de “lado derecho”
Cb: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables básicas
Cd: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables no básicas

A continuación presentamos los Análisis de Sensibilidad más recurrentes asociados a los modelos de Programación Lineal y utilizando como fuente de información la tabla final del Método Simplex. El siguiente es un listado de los artículos que hemos desarrollado para cada uno de estos temas los cuales te recomendamos visitar:

Teorema de Dualidad Fuerte y Dualidad Débil (Dualidad en Programación Lineal)

En el contexto de las relaciones de dualidad en Programación Lineal, los teoremas de dualidad fuerte y dualidad débil constituyen importantes resultados teóricos que contribuye a la comprensión y resolución de modelos de optimización lineales. En el siguiente artículo ilustraremos su utilización haciendo uso de un ejemplo sencillo para fines académicos que por supuesto puede ser extendido a problemas de mayor tamaño.

Consideremos los siguientes problemas Primal (P) y Dual (D) en su formato matricial:

Lo anterior no constituye una pérdida de generalidad dado que el problema primal puede ser de maximización o de minimización con la consecuente incidencia en la interpretación de los resultados.

Teorema de Dualidad Débil

El Teorema de Dualidad Débil establece que si x є IRn, es una solución factible del problema Primal P) y ∏ є IRm, una solución factible del problema Dual D), entonces:

Es decir, en el formato descrito anteriormente, el valor que reporta una solución factible del problema dual de minimización al ser evaluada en su respectiva función objetivo, representa una cota superior del valor óptimo del problema primal de maximización.

Análogamente, una solución factible del problema primal de maximización al ser evaluada en dicha función objetivo representa una cota inferior del valor óptimo del problema dual de minimización. En conclusión: V(P)<=V(D).

En general si el problema primal tiene un dominio de soluciones factibles no acotado sin solución óptima (es decir, es un problema no acotado) el respectivo problema dual resultará ser infactible (y viceversa).

Para corroborar el Teorema de Dualidad Débil consideraremos un problema primal y su respectivo dual: (si tienes dudas respecto a las relaciones de dualidad te recomendamos leer previamente el artículo Cómo pasar de Primal a Dual y viceversa).

Una representación gráfica realizada con Geogebra del problema primal permite apreciar que el dominio de factibilidad es no acotado y su solución óptima se encuentra en el vértice C donde X1=2/5 y X2=6/5 con valor óptimo V(P)=16/5.

Notar adicionalmente que cualquier par ordenado que pertenece al área achurada es factible, por ejemplo X1=2 y X2=2 es una Solución Básica Factible para el problema primal con V(P)=8 (cota superior del valor óptimo del problema dual de maximización).

En cuanto al problema dual su dominio de factibilidad es acotado y su solución óptima se encuentra en el vértice C con Y1=2/5 e Y2=2/5 y valor óptimo V(D)=16/5. Adicionalmente existen otros puntos factibles como el origen (Y1=0 e Y2=0) con V(D)=0 lo cual permite corroborar que cualquier solución factible del problema dual al ser evaluada en la función objetivo (de minimización) genera una cota inferior del valor óptimo del problema primal de minimización.

Teorema de Dualidad Fuerte

Si un problema (Primal) de Programación Lineal tiene una solución óptima, entonces el correspondiente problema Dual también tiene una solución óptima, y los respectivos valores en la función objetivo son idénticos.

En consecuencia, del Teorema de Dualidad Fuerte se deduce que ambos problemas (primal y dual) al ser evaluados en sus respectivas soluciones óptimas (en caso de existir) proveen idéntico valor óptimo, es decir, V(P)=V(D). Es más, resulta suficiente resolver uno de ellos y luego utilizar las propiedades del Teorema de Holguras Complementarias para encontrar la solución óptima (y valor óptimo) de su problema equivalente. En nuestro ejemplo V(P)=16/5=V(D).